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一、证明题

1． 设当

因

为

2． 设

时, 时

,

, 而

, 所

以

. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.

, 从

而

, 这与题

设

【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则

矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续. 为开集,

, 存在

. , 当

在, 当

可微, 试证明:

时, 有

（2）存在

时, 有

（这称为在可微点邻域内满足局部利普希茨条件） 【答案】（1）因为, 在其中

即

处可微, 依定义

, 当

时, 有

使

故当

（2）在（1）中取其中

3． 证明:

【答案】因为

所以

. , 则

时, 有

（1）任给

所以

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4． 给定曲面

（a , b , c 为常数）

, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:

（1）曲面的切平面通过一个定点

; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因

及

与

不能同时为零, 得出

化简得

把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得

化简得

当

由函连续可微性, 知

5．

设f 为

时, 即可看出

成立.

对x=a

或y=b时也成立.

上增, 则f 在

上增（减）. , 并且

于是

.

上的奇（偶）函数. 证明

:若f 在

则

【

答案】设

如果f 为奇函数, 则 即f 在即f 在

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

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6． 设函数列

【答案】设当又设

. 与时, ,

在区间I 上一致收敛, 且对每个n

,

在I 上必一致收敛.

,

, 存在正整数N 0, 使得

与都是I 上的有界

函数（不要求一致有界）. 证明:

首先证明f （x ）, g （x ）在I 上有界. 而

, 所以

同理可证g （x ）在I 上也有界. 设其次证明

与

在I 上一致有界. 由I

整数N 1, 当n> N1时有

对

因此

, 当

时有

, 则

最后证明有

于是当n>N时,

有

故 7． 证明有界函数.

是R 上的有界函数.

于是,

故

是R 上的

【答案】由平均值不等式可得

在I 上一致收敛于f （x ） g （x ）.

, 取正整数N , 使得当n>N时,

_

. ,

, 故存在正

令, 及有

二、解答题

8． 试求下列极限:

（1）（2）（3）（4）