2018年海南师范大学数学与统计学院905高等数学[专业硕士]之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为
【答案】（1）因为f 在正数M ,
因为f 为使得当（2）因为g 为于是,
存在即为
在使得当
时的无穷小量.
使得 , 使得
, ’
使得
,
使得
. , 因为上, 证明:
为偶函数; 为奇函数;
的定义域关于原点都是对称的.
故. 故于是
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内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则
为
的无穷小量, 则为
时的无穷小量.
;
内有定义且不等于0, 所以在
存在正数’即
故为使得当由g 为即
内也有定义. 对于任意大的
时的无穷小量, 即
时,
时的无穷大量
时,
时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的
时,
时的无穷大量知, 故
,
2． 设序列X n 无上界, 求证:存在子序列
【答案】对于
对于对于对于
这样产生一子序列
3． 设函数f 定义在
（1）（2）【答案】（1）（2）
（3）由（1）、（2）得
使得
, 由广义极限不等式推出
（3） f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.
为为
上的偶函数. 上的奇函数. 而
是偶函
数, 是奇函数. 故
4． 设f 是定义在
可表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 上的一个连续周期函数, 周期为p ,
证明
【答案】
及, 使得. 于是由周期函数的积分性质,
得
因
及
所以
5． 若函数u=u （x , y ）满足拉普拉斯方程. 满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
,
则有
即v 也满足拉普拉斯方程. 6． 设
证明:
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, 证明:函数.
也
’‘, 则
且在附近有
【答案】因为又因为对上述任给的
从而对任给的从而对上述只需取
存在
当
存在
使当
使当
时, 有
. 时, 有
时, 就有
故
7． 证明:若
在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列
使得
在, 上一致收敛.
使得
在I 上一致收敛.
【答案】
因为
在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i ,
总存在自然数
而级数
收敛, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数
二、解答题
8． 求函数向导数.
【答案】易见u 在点（1, 1，2）处可微，故由
得
9． 求心形线
【答案】
的切线与切点向径之间的夹角.
由半角公式
得
10．求不定积分
【答案】令
则
. 故当
时,
; 当
时,
在点（1，1，2）处沿方向1（其方向角分别为
，
，
）的方
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