2018年哈尔滨医科大学公共卫生学院611数学综合之数学分析考研强化五套模拟题
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一、证明题
1． 设
【答案】由
. 证明:级数
收敛. 知, 当n 充分大时有
所以级数
收敛. 由条件
知
与
有相同的敛散性, 从而
收敛.
2． 利用施瓦兹不等式证明:
（1）若f 在[a, b]上可积, 则
（2）若f 在[a, b]上可积, 且
, 则
（3）若f , g 都在[a, b]上可积, 则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式:
【答案】（1）根据施瓦兹不等式, 有
（2）由f （x ）可积, 且式, 有
（3）由施瓦兹不等式, 得
故
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,
知可积, 从而_
|可积, 于是根据施瓦兹不等
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3． 证明定理 （有限覆盖定理）:
设个开域用直线
为一有界闭域,
为一个开域族,
它覆盖了
D （即‘
）.
t 之中, 并假设D 不能被
中有限个开域所覆盖,
分成四个相等的闭矩形, 那么至少有一个闭矩形
其中每一个闭矩形
中都至少含
）. 则在
中必存在有限
它们同样覆盖了 D （即
把矩形
【答案】设有界闭域
D 含在矩形它所含的D 的部分不能被
所含的
D
的部分都不能为有D 的一点, 任取其中一点为
由闭矩形套定理可知:存在一点由于
中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为中有限个开域所覆盖, 于是
, 每个闭矩形
则
且
满足对任意的自然数N 都有:
四个相等的闭矩形, 按照这种分法 继续下去,
可得一闭矩形套
所以
又因在由于
是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含
不妨设此开域为
使得
故n 充分大时, 恒有
可见, 矩形但是, 这与每个故
4． 证明:
【答案】
于是, 对于
, 存在
, 使得当
对, 有
. 在[—M , M]上, 由连续函数的
包含于邻域
中,
从而包含于开域中,
中有限个开域所覆盖矛盾,
中所含的D 的部分不能被
和一个邻域
按定理条件,
.
则必存在点
中必有D 的有限开域覆盖.
为有界函数.
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有界性定理知, 存在
故
, 使得当时.
. 于是, 对于一切
为有界函数.
是的一个聚点. 试证:
自
设
又因为
5． 设是集合E 的全体聚点所成的点集
,
【答案】因为
是
的一个聚点, 所以
是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以
又因为
, 因此.
即是E 的一个聚点,
所以
6． 证明:若函数f 在区间上处处连续, 且为一一映射, 则f 在上严格单调.
【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然,
则至少存在三个点
注意到f 在上连续, 对f 分别在区间
, 使得
再证明f 在上是严格单调的. 不妨设f
在上是单调递增的, 则对任意的, 故必有
7． 设f 为
有
. 注意到f 在上是一一对应
, 这表明f 在上是严格单调的.
上的奇（偶）函数. 证明:若f 在
则
上增, 则f 在
上增（减）. , 并
且
于
是
满足和
但
, 而
而
和. 由
于f 是一一映射, 所以上述不等式为严格的, 即
上应用介值定理, 则存在
这与f 是一一映射相矛盾, 所以f 是单调的.
【答案】
设
如果f 为奇函数, 则
即f 在即f 在
上为增函数. 如果f 为偶函数, 则
上为减函数.
二、解答题
8． 求幂级数
【答案】由于
因此
的收敛域
.
的收敛域及和函数.
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