2018年海南师范大学数学与统计学院615数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为
上的奇（偶）函数. 证明:若f 在
则
上增, 则f 在
上增（减）. , 并
且
于
是
【答案】
设
如果f 为奇函数, 则
即f 在即f 在
2． 设曲线
证明
的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.
上为增函数. 如果f 为偶函数, 则
上为减函数.
【答案】由对称性知
3． 用区间套定理证明确界原理.
【答案】设S 是非空有上界的数集, b 是S 的一个上界, a 不是S 的上界, 显然a 令区间 , 且 令于是有 , 且 如此下去, 得一区间套 ; , 其具有性质:不是S 的上界, 第 2 页，共 23 页 , 若c 1是S 的上界, 则取 ; 若不是S 的上界, 则取于是得 , 若是S 的上界, 则取若不是S 的上界, 则取, 是S 的上界（n=1, 2, ... ）, 由 区间套 定理知, 存在首先, 其次, 上界, 故 内有定义且不等于0. 若f 为时的无穷大量, 则 为 的无穷小量, 则为 时的无穷小量. 内也有定义. 对于任意大的 ; 有, 因为 , 且, 因而 , 所以当n 充分大时有 , 往证 . , 即是S 的一个上界. , 而不是S 的上界, 所以不是S 的 4． 证明定理: （1）设f 在时的无穷大量. （2）若g 为 【答案】（1）因为f 在正数M , 因为f 为使得当（2）因为g 为于是, 存在即为 5． 证明对任意自然数n , 方程 . 【答案】令 在使得当 时的无穷小量. 内有定义且不等于0, 所以在 存在正数’即 故为使得当由g 为即 时的无穷小量, 即 时, 时的无穷大量 时, 时的无穷大量, 故存在内有定义. 对于任给的 时, 时的无穷大量知, 故 , 在区间上总有惟一实根X n ， 并求 则在 上有零点. 所以 在 上单调. 因此, 由连续函数的零点定理知, 又从而 在 上存在惟一的零点, 即方程. . 在区间[0, 1]上总有惟一实根对 6． 设 在点 两边取极限得存在, 在点 在点 连续, 证明f （x , y ）在点 可微. 【答案】因为其中 . 于是有 存在, 由一元函数的可微性知 第 3 页，共 23 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 令 时有 故f （x , y ）在点 , 从而 可微 . . 因为fy （x , y ）在点 , 即 连续, 所以当 7． 证明施瓦茨不等式:若f （x ）和g （x ）在[a, b]上可积, 则 【答案】 , 因为 所以 若 f x ） =0, 等式成立; 若则（即 故 , 上式是关于t 的二次三项式, 且非负, 于是有判别式 , . 即 二、解答题 8． 设V （t ）是曲线 . 【答案】由旋转体体积公式可得 所以 故 9． 求 . 又因为 所以 在 上的弧段绕 x 轴旋转所得的体积, 试求常数c , 使 【答案】由分部积分可得 第 4 页，共 23 页
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