2018年天津科技大学食品工程与生物技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知
其中E
是四阶单位矩阵
是四阶矩阵A 的转置矩阵
，
求矩阵A
【答案】
对
作恒等变形，
有即
由
故矩阵可逆.
则有
以下对矩阵做初等变换求逆，
所以有
2． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
3． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
为标准形，并写出所用正交变换；
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
矩阵A 满足AB=0, 其
中
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
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那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为又
有
所以由
进而
得
线性无关.
和向量组
线性表示；
于是
4． 设三维列向量组
（Ⅱ）当
【答案】
（Ⅰ
）由于4
个三维列向量
全为0的数
又向量组
记和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
线性无关
，列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得可同时由向量组
时，求出所有非零列向量
构成的向量组一定线性相关，
故存在一组不即
，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得可同时由向量组所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（
Ⅱ）易知，求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为_意非零常数.
因此，所有非零列向量
所有非零解_
t 为任
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