2018年天津师范大学计算机与信息工程学院603数学之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量 2． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ
）设
【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，
故
线性无关.
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所有非零解
_
t 为任
是3维非零列向量，若线性无关； 求
且
令
非零可知，是A 的个
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,
所以必有
线性无关；
（Ⅱ）因为
,
所以
即
故 3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
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（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 举反例说明下列命题是错误的：
（1
）若
（2
）若
则
则有
有
但
，但且
但
则A=（9或A=五；
（3）若AX=AY ,
且
【答案】
⑴取
⑵取
（3）取有AX=AF，
且
6． 判定下列二次型的正定性：
（1
）（2
）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1
阶主子式
3阶主子式，
即
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
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