2018年天津科技大学食品工程与生物技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
知
的基础解系，
即为
的特征向量
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知则.
可
逆. 又故即
所以
即而
故
3
． 设二
次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0,
其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B
的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设有
对
正交化，令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵A
的特征
故知矩阵A
有特征值因此，
矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
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再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
于是
4．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
又由
得
因
与
可知综上可知
，
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是
得的基础解系.
那么
二、计算题
5． 求解下列非齐次线性方程组：
（1）
（2）