2018年苏州大学电子信息学院627专业综合(1)(线性代数、生物化学)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
即
时
此时方程组无解.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。 4．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，
故 6．
已知
是矩阵
的一个特征向量
由定义，AB 与BA 相似.
（1）求参数a ，b 及特征向量P 所对应的特征值； （2）问A 能不能相似对角化? 并说明理由. 【答案】（1）利用特征值和特征向量的定义. 设P 所对应的特征值是A , 则由题设
，
即
于是，
得到以
为未知数的线性方程组：
（2）A 不能相似于对角阵. 理由是：
当
故
是A 的三重特征值.
但
没有3个线性无关的解. 于是，矩阵A
对应于特征值阵相似于对角阵的充要条件知，A 不能相似于一个对角阵.
7．
设
（1
）证明
是A 的n-1重特征值；
时. 容易求得矩阵A 的特征多
项式
从而
故齐次方程
没有3个线性无关的特征向量. 由方