2018年重庆理工大学理学院820数理统计之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】一方面
另一方面
2． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在. ，证明:
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在. 3． 记
证明
【答案】
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时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
由得
4． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
5． 设
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列，所以
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是该二元正态分布族的充分统计量.
试证明:当n 充分大时
，
也是独立同分布的随机变量序列.
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
6． 若事件A 与B 互不相容，且
，证明:
【答案】
7． 设总体的概率函数证明费希尔信息量
【答案】记，
，则
所以
另一方面，
这就证明了
8． 设
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
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的费希尔信息量存在，若二阶导数对一切的存在，
【答案】因