2018年仲恺农业工程学院轻工食品学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 掷2n+l次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率.
【答案】设事件A 为“正面数多于反面数”，事件B 为“反面数多于正面数”，因为投掷2n+l次，所以“正面数等于反面数”是不可能事件，
由此得
，因此P （A ）=0.5.这里对称性起关键作用.
2． 设总体密度函数为
【答案】对数密度函数为
将上式对求导，得到
，二阶导函数为
3． 某种绝缘材料的使用寿命T （单位:小时）服从对数正态分布小时，
小时，求和.
的平p 分位数为
其中
为标准正态分布N （0, 1）的P 分位数，所以根据题意有
代人上面两式，可解得
求
所以
由于
所以
第 2 页，共 31 页
=A.又由事件A 与B
的对称性知
，已知，，求的费希尔信息量.
，于是
若已知分位数
【答案】正态分布
将
4． 设X , Y 独立同分布，都服从标准正态分布
【答案】因为
独立，都服从
又因为
5． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数效（能将泊松分布的参数减少为
的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对的人有
），对另外的的人不起作用. 如果某人服用了此药，一年
内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？
【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为
因此所求概率为
6． 某建筑工地每天发生事故数的现场记录如下:
表
试在显著性水平
下检验这批数据是否服从泊松分布.
【答案】仍为检验总体是否服从泊松分布的分布拟合检验问题. 由于有几类的观测个数偏少，为使用近似分布，需要把后面四类合并为一类. 于是我们把总体分成4类，在原假设下，每类出现的概率为:
未知参数采用最大似然估计得:
将代入可以估计出诸于是可计算出检验核计量
表
，如下表:
若取由于
，查表知，故拒绝域为.
故不拒绝原假设，在显著性水平为0.05下可以认为这批数据服从
第 3 页，共 31 页
泊松分布. 此处检验的p 值为
7． 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X 服从大小
.
，Y 服从
试比较以下P l 和P 2的
【答案】因为
所以P l 与P 2一样大小.
8． 甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2.两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本. 但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本:
（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜. 【答案】按甲、乙最终获胜的概率大小来分赌本.
（1）在这种情况下，甲、乙两人所处地位是对称的，因此甲、乙最终获胜的概率都是1/2, 所以甲得全部赌本的1/2，乙得全部赌本的1/2.
（2）最多再赌4局必分胜负，若以事件
表示再赌下去的第i 局中甲赢，i=l, 2, 3, 4, 则
所以甲得全部赌本的11/16, 乙得全部赌本的5/16. （3）再赌n+m-1局必分胜负，共有n+m-1局中至多赢m-l 局，这共有
种等可能的情况，而“甲最终获胜”意味着:乙在此
种等可能的情况，若记
则
所以甲得全部赌本的
乙得全部赌本的
.
二、证明题
9． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
第 4 页，共 31 页
. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设