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一、计算题

1． 对n 次多项式进行因式分解

从某种意义上说, 这也是一个反函数问题, 因为多项式的每个系数都是它的, n 个根的已知函数, 即

要得到用系数表示的根, 即

试对n=2与n=3两种情况, 证明:当方程

无重根时, 函数组①存在反函数组②.

因为

无重根, 所以

所以由定理可知函数组①存在反函数组②. （2）当n=3时, 由于

所以

又

【答案】（1）当n=2时, 由韦达定理（根与系数的关系）有

所以由定理可知函数组①存在反函数组②.

2． 设函数f （x , y ）具有连续的n 阶偏导数, 试证:

函数

【答案】应用数学归纳法证明. 当n=l时,

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的n 阶导数

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且

设

成立, 则

所以,

对一切的n ,

3． 试作函数

【答案】

在区间

的图像. 是以

为周期的周期函数, 是一个奇函数, 它的定义域为R , 值域为

上的表达式为

它的图像如图所示.

图

4． 求证:黎曼

函数

（1）在

x>1上连续; （2）在x>1上连续可微. 【答案】（1）

, 使得

又

, 从而

在

上一致收敛. 进一步由连续性定理, 可知函数

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，共 23 页

具有如下性质:

在上

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连续, 特别在x 0点连续. 由于x 0的任意性, 即可肯定

（2）由（1）可知

, 使得

.

在x>1上连续.

又

收敛, 从而

在

上一致收敛. 进一步由逐项求导与连续性定理知

且

在

士连续, 特别

在x 0点可导且

在x 0连续. 由x 0的任意性, 即可肯定

在

x>1上连续可微.

5． 在xy 平面上求一点, 使它到三直线x=0, y=0及

, 它到x=0的距离为【答案】设所求的点为（x , y ）的距离为

它到三直线的距离平方和为

由

的距离平方和最小. , 到y=0的距离为

到

得因为

,

因此

为z 的极小值点, 由实际意义知, 其为z 的最小值点, 最小值为

.

二、证明题

6． 证明:设方程F （x , y ）=0所确定的隐函数y=f（x ）具有二阶导数, 则当

【答案】由题设条件可得

故

所以

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时, 有