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一、证明题

1． 设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明:

若

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当x=1时,

2． 设定义在[a, b]上连续函数列

满足关系

对于在[a, b]上的可积函数f , 定义

证明:

收敛, 且有不等式

【答案】设

依题意可知

与

均在[a, b]上可积

.

其中

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, 则在x=1处有

所以

故

即级数

的部分和有上界, 从而

收敛, 且

3． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

所以（5）（6）设

则

于是

故

第 3 页，共 32 页

由函数极限的局部有界性知,

由函数极限的局部有界性知,,

1知

在

内有界,

在

内有界,

即

于是, 在某个

内

有界, 故

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（7）设

, 则

于是

故

4． 证明:

【答案】令

则

于是当

5． 设函数

【答案】

于是, 有

在

连续, 并且

求证:

存在, 并且

在时,

内严格递增,

,

即

, 故f （x

）在

内严格递增.

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在

连续, 对

取极限,

此即

6． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

【答案】根的存在定理:若函数f 在闭区间

点

使得性知, 对

第 4 页，

共

32 页

存在, 且

上连续, 且f （a ）与f （b ）异号, 则至少存在一

,

有

由连续函数的局部保号

假设方程f （x ）=0在（a , b ）内无实根, 则对每一点