2018年湖南大学机械与运载工程学院610数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若T ’是T 增加若干个分点后所得的分割, 则T’, 所以我们只需证p=l的情形.
在T 上添加一个新分点, 它必落在T 的某一小区间内, 而且将分为两个小区间, 记作
但T
的其他小区间
仍旧是新分割
所属的小区间, 因此, 比较一项换为后者中的
故
»
即
就有
这里 2． 证明:
对
成立.
这样就将问题转化为求令
解之可得, 在D 的内部有惟一驻点（1, 1）, 且注意到,
和,
,
所以f （x , y ）在D 的内部最大值为下面求f （x , y ）在D 的边界上的最大值. 在y=0上, 令最大值为
. 综上, f （x , y）在D 上的最大值为
, 即
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【答案】设T 增加p 个分点得到T’, 将p 个新分点同时添加到T , 和逐个添加到T , 都同样得到
与的各
与
个被加项,
它们之间的差别仅仅是前者中的
两项. 又因函数
在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅, 即有
一般的, 对增加一个分点得到
,
故_
【答案】将原不等式变形为
在区域
上的最大值.
.
; 可得驻点
此时f （0, 0）=0,
. 因此, f （x , y ）在y=0上的
同理, f （x , y ）在x=0上的最大值为
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． 设函数f
在
上二阶可导
,
, 证明存在一点
【答案】f （x ）在x=a和x=b的一阶泰勒公式分别为
t
由此得到
于是
其中
或
, 并且满足
.
,
使得
二、解答题
4． 设
求极限
【答案】因为
且
时,
所以当
当时
,
5． 设函数y=f（x ）在点x 三阶可导, 且
以及
【答案】
表示
.
. 若f （x ）存在反函数, 试用
*
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6． 在下列数列中哪些数列是有界数列, 无界数列以及无穷大数列:
（1）（2）（3）（4）列.
（2）因为（3）因为（4
）
因为
7．
若x=1, 而
【答案】
,
当当
时, 时,
为
f 的极小值点
, 则
x 0为在I 上惟一的极小值点.
, 不妨设
因此, 对于任意的 9
． 设
【答案】对于故
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所以
所以
是有界数列, 但所以
不存在.
是无界数列, 但不是无穷大数
【答案】（1）因为
是无穷大数列, 也是无界数列
.
所以I
是无界数列, 但不是无穷大数列.
, 问对于, 与dy 之差分别是多少?
,
8． 设f 为区间, 上严格凸函数. 证明:若格凸函数知
, 对任意
总有
【答案】反证法. 若
f 有异于x 0
的另一极小值点
, 由f 是
I 上的严
, 只要充分接近0, 总有但是
, 这与是f 的极小值点矛盾. 故x 0是f 在I 上的惟一极小值点.
’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间
上,
, 所以有