2018年湖南科技大学商学院613数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设正项级数
收敛, 和为S. 令
求证:当0 【答案】把区间[0, S] 用分点 及函数 的单调递减性, 得 这意味着级数 2． 证明:若函数列 的部分和有界, 从而此级数收敛, 且在[a, b]上满足定理的条件, 则 设由 为 的收敛点, 则对任意的满足定理的条件可知 故从而 由为 的收敛点可知, 对任意 存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当 从而当所以 时, 有 在[a, b]上一致收敛. 时, 总有时, 对任意 有 在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的 有 在[a, b]上一致收敛. 一致收敛, 不妨 设 分成无限个小区间. 在 上, 由 【答案】由题 设连续 且 二、解答题 3． 设曲面S 由方程 【答案】在球坐标变换 : , 其参数方程为 所确定, 求曲面S 的面积. 之下, 曲面S 的方程 是 通过计算易知, 由此得 由曲面的对称性, 只需求第一卦限部分的面积即可. 而此时 , 所以 故S 的面积为 上可积, 则 【答案】先证明事实上, 由定）且 , 根据A —法 , 时, 有 特别地, 有 由f （x ）在又因为于是, 上可积可知, 它在所以对上述, 当 时, 有 , 并且由曲面方程知 4． 设f （x ）在 在 收敛（即 . 上一致收敛. 关于y 一致收敛）, 及 关于x 单调（ 固 在上一致收敛. 于是 , , 当 上有界, 即 . , 当 时, , 有 有 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 即 5． （1）叙述无界函数的定义; （2）证明 为 上的无界函数; 上的无界函数. 使得 （3）举出函数f 的例子, 使f 为闭区间则称函数f 为D 上的无界函数. （2）对任意正数M , 由于是, 取无界函数. （3）设 6． 设 【答案】由于 显然, 则 得 并且 【答案】（1 ）设f 为定义在 D 上的函数. 若对于任意正数M , 都存在 故 是 上的 为上的无界函数 求dz. 可微，故 7． 求极限 【答案】令 （k 为自然数）. , 由 可得原极限 .
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