2018年黑龙江科技大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
（1）当n 为正整数, 且（2）
.
, 且
, 所以
又因为
是以为周期的函数, 所以
所以当
（2）由（1）知, 当
时,
有
. 时, 有
令
可得
.
时, 证明:
【答案】（1）因为
2． 用区间套定理证明确界原理.
【答案】设S 是非空有上界的数集, b 是S 的一个上界, a 不是S 的上界, 显然a 令区间 , 且 令于是有 , 且 如此下去, 得一区间套区间套 定理知, 存在首先, 其次, 上界, 故 第 2 页，共 30 页 , 若c 1是S 的上界, 则取 ; 若不是S 的上界, 则取于是得 , 若是S 的上界, 则取 ; 若不是S 的上界, 则取, , 其具有性质:不是S 的上界, , 且, 因而 , 所以当n 充分大时有 , 往证 是S 的上界（n=1, 2, ... ）, 由 . 有, 因为 , 即是S 的一个上界. , 而不是S 的上界, 所以不是S 的 3． 设 为单调数列. 证明:若, 则 存在聚点, 则必是惟一的, 且为 中含有无穷多个中只能含有即任给 的确界. . 令 , 则当 【答案】 设时 , 假设, 使综上, 若 是一个单调递增数列. 假设, 于是 是它的两个不相等的聚点, 不妨设 中的点, 设 中有穷多个点, 这与是聚点矛盾. 因此, 若 0, 按聚点的定义 , 存在聚点, 则必是惟一的. 无界, 则 存在正整数N , 当n>N时, 有界. 对任给的 , 的确界. , 于是小于M 的只有, 由聚点定义, 必存在 有限项, 因此不可能存在聚点, 这与已知题设矛盾, 故 按上确界定义知有聚点, 必惟一, 恰为 二、解答题 4． 计算下列反常积分的值: （1）（3）【答案】 （1） （2） （3） （4）令 , 则 , 由（3）的结论得 5． 计算下列二重积分: （1）（2）（3）（4） , 其中D :, 其中 , 其中 第 3 页，共 30 页 ; （2） （4） ; （5）（6） 【答案】（1）原式= 其中D :►其中D : . . , 其中在D 1内 . 在D 2内 , （2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D 2, 所以 2 （3）所以 （4）积分区域为D :数, 所以 从而原式=令 原式 （5）方法一 积分区域关于直线y=x对称, 所以 故 方法二 作变换x+y=u, x—y=v, 则D 变为 于是 , 所以 第 4 页，共 30 页 , 其中, _. , D 关于x 轴对称, 而函数’关于y 是奇函 • , 则 • , 所以