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一、证明题

1． 证明

【答案】令x=au, y=bv, z=cw, 则

, 其中

*所以

2． 设f 为

上的奇（偶）函数. 证明:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并

且

于

是

【答案】

设

如果f 为奇函数, 则

即f 在即f 在

3． 给定曲面

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:

（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因

及

与

不能同时为零, 得出

化简得

把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）.

.

（2）对上式再求偏导数, 得

化简得

当

由函连续可微性, 知

4． 设f , g :

（1）（2）

【答案】（1）因为当故（2）因为

时, 有若

则. 所以对

等价于

. 利用不等式, 有

这表明

, 当

即

故 5． 设

为区间

上的连续函数, 且使得为区间

上的连续函数, 所以存在最大值与最小值,

,

.

, 即b=0时可逆.

时, 有

所以

,

.

,

, 且当b = 0时可逆; 时, 即可看出

成立.

对x=a或y=b时也成立.

, 证明:

证明:存在【答案】因为即存在M , m , 使得又因为

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即

根据闭区间上连续函数的介值定理, 存在

使得

二、解答题

6． 求下列极限:

）1（

【答案】（1）

（2） .

（2）

7．

arctan

.

不可导;

可导.

仅在原点不可导, 其余点可导, 从而也连续, 从而

或仅在己知点处处不可导, 不连续, 可知

仅在

仅在点

仅在点不可导.

仅在

, 处可导, 其他点

【答案】原式

8． （1

）举出一个连续函数,

它仅在已知点

（2）举出一个函数, 它仅在

【答案】（1）由于函数仅在

处不可导

, 其他点处可导, 进而

或

（2）由于狄利克雷函数

处可导且导数为0, 其他点不可导, 进而不可导, 依此进行, 可得函数利克雷函数.

处不可导, 其余点可导, 依此进行, 可得函数

处可导, 其中D （x ）为狄