2017年吉首大学数学与统计学院713数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：函数
【答案】因为
所以 2． 1) 设
(1) (2) 若
则
证明：
(又问由此等式能否反过来推出
) ；
为常数) 满足热传导方程：
2) 应用上题的结论证明下列各题： (1
) (2
) (3
) (4
) (5
) (6
) (7)
若(8)
若
【答案】(1) 因
为
于是当
则则时，有
所以对于任意
的
存在正整
数
当
时，
有
其中
的
存在正整数
使得当
时，有
取
则当
时，有
故
由这个等式不能推出(2) 根据极限保号性，由
有
由1)(1) 的结论可得
再由迫敛性得因此，由迫敛性得2)(1) 因为(2)
令(3)
令
所以
则
如果a=0, 则
综上所述，有
由第1)(2) 题知，
则
由第1(2) 题知，
(4)
令
则
由第1)(2) 题知，
) .
(5)
令
则
由第1)(2) 题知，
因而
又因为所以对上面
例如
可得
如果a>0, 那么
但不收敛.
由平均值不等式
且
(6)
令
则
由第3(1) 题得知，
(7) 补充定
义
令
则
由
知
因
为
所
以
由第1)(2) 题得
(8)
令
则
由第1)(1) 题知，
3． 证明：定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。
【答案】设圆的半径为R ，则该圆的内接正n 边形面积
令
则
于是当
时，
故
在
上严格递增. 因此，数列
严格递增. 即圆内接正
n 边形面积将随n 的増加而增加。
4． 设求证在区间
【答案】当当当即
时
在
时，结果显然成立.
时，利用一个显然成立的不等式：
可导出
有
因此
时，有
上一致连续. 上显然一致连续.
设令则取于是当