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一、证明题

1． 证明：

【答案】将原不等式变形为

这样就将问题转化为求令

解之可得，在D 的内部有惟一驻点(1，1) ，且注意到，

下面求f (X ，y ) 在D 的边界上的最大值. 在y=0上，令最大值为

综上，f (x ，y ) 在D 上的最大值为

2． 设f (x ，y ) 在区域

其中

【答案】任

取

时，有

又由，f 对y 满足利普希茨条件，对上述

现取

则当

取时，

所以

在点

处连续，由点在D 上一致收敛于

对任意

有

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成立.

在区域上的最大值.

所以f (x ，y ) 在D

的内部最大值为

和

，可得驻点

此时

因此，f (x ，y ) 在y=0上的

即

同理，f (x , y ) 在x=0上的最大值为

上对x 连续，对y 满足利普希茨条件：

为常数，试证明f 在G 上处处连续.

对固定

的

连续，于是对任

给

存

在

. 则当

时，有

的任意性知

函数

因

在G 内处处连续. 在D 上有界，证明级数

在D 上一致收敛于

故

3． 设函数项级数在D 上一致收敛于

【答案】不妨设存在

对任意存在N>0, 当n>N时，对任意均有从而，对任意

所以

4． 证明：级数

【答案】考察

在D 上一致收敛于

发散于

显然m 适当大时，有

从而

使

由于级数的通项趋于0, 故当

二、解答题

5． 边长为a 和b 的矩形薄板，与液面成α（0<α<90°）角斜沉于液体中. 设a>b，长边平行于液面，上沿位于深h 处，液体的比重为v. 试求薄板每侧所受的静压力。

【答案】如图所示，静压力的微元

则

图

6． 设函数

【答案】

构造函数：

可知，

连续且有界。但是

在

时非一致连续.

在开区间在

内连续且有界，试讨论内非一致连续.

在

内的一致连续性.

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反证法：如果函数一致连续，则对

取

当时，

令

当n 足够大的时候

出现矛盾，所以原命题成立.

7． 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值：

【答案】⑴

当P<1时，

当（2）

时，

发散，故

发散

由于上面这个极限不存在，故瑕积分（3）

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发散。