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一、证明题

1． 设a ，b ，

【答案】由于当

时，原不等式化为

上式等价于

两边平方，得

即

由于即

当

所以上式等价于

时，这个不等式是成立的. 所以原命题成立.

的两边之

(

表示全体正实数的集合) . 证明

故只需对

的情形进行证明.

你能说明此不

等式的几何意义吗？

题中不等式的几何意义如图所示，其中AB=a, BD=b, BC=c.其几何意义表示差小于第三边

.

图

2． 设级数

【答案】设

收敛于A (有限数) . 证明

：

则有

故有

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所以

3． 证明：

【答案】(1

)

4． 设

在

上三阶可导，证明：存在实数使得

【答案】若存在一点立. 因此，不妨设

不失一般性，假设则

而且当

进而，

不失一般性还可假设

则

有

于是，在

的假设下证明本题的结论.

由泰勒公式，

有

其中在X 与a 之问. 由此可知，存在再由泰勒公式，有

其中在x

与

则

之间. 由此可知，存在

当

时

若取

当

而且当

使使得.

这是因为，若.

考虑

时，

. 这是因为，若

.

，

使得

则必有考虑

时，必

中有一个为零，则结论显然成

二、解答题

5． 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由椭圆移动到(0，6) ，求力所作的功.

【答案】椭圆的参数方程为：

由于力的反方向指向原点，则:(设k 为比例系数

)

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沿

6． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点使.

【答案】（1）f （X ）在

上连续，又因为

所以

在x=0右连续. 故f （x ）在

内连续

.

故f （x ）在（2）所以

时

，

函数f （x

）在区间

7．

试问函数么？

【答案】显然，f （x ）和g （x ）在区间不能应用柯西中值定理得到相应的结论.

8． 求下列极限：

【答案】因为

所以

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内可导，且根据罗尔中值定理，存在一点

使

在x=0不可导.

则

内不存在

在区间

使.

在

时

上不满足罗尔中值定理的条件.

当

所以

故

上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什

上连续，在区间

内可导

所以，柯西中值定理的第3个条件（不同时为零）得不到满足，