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一、计算题

1． 在（0, 1）上任取一点记为X ，试求

【答案】

由

解得

是开口向上的，故有

所以

2． 设随机变量X 的分布律为

表

1

求

的分布律.

可取值为0、1、4、9, 则有

即Y 的概率分布如下

表2

. .

因为

，

又因为二次函数

【答案】由题意知,

3． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下:

在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为

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，

则要检验的假设为

由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是，而

因而，检验的统计量为若取由于u 在

，则

检验的拒绝域为

由于u=—2.1落入拒绝域，故拒绝原假设.

成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为

. ，

4． 设随机变量X 和Y 独立同分布，且

试求P （x=y）.

【答案】利用独立性可得

5． 求下列亊件的概率:

（1）（2）

个人坐成环形, 求甲、乙、丙三个人坐在一起的概率; 个人并排坐, 求甲、乙、丙三个坐在一起的概率. 种,

当甲、乙、丙三人坐在一起时, 可将他们看作一个整体, 则共有坐法. 即

（2）若n 个人坐成一排, 则共有则共有

种坐法, 即

6． 设随机变量（x ，y ）的联合密度函数为

试求（1）边际密度函数

；（2）x 与y 是否独立？

【答案】（1）因为P （x ，y ）的非零区域为图的阴影部分，

'

种不同坐法, 仍将甲、乙、丙三人看作一个整体,

种

【答案】（1）设事件A 表示“甲、乙、丙三人坐在一起”, n

个人坐成环形的坐法共有

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图

所以，当-l

，当0

，因此Y 的边际密度函数为

这是贝塔分布（2）因为

，所以X 与Y 不独立.

，

7． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，所以（X , Y ）的联合密度函数为

’记

，则

所以

，由此

得

'

和

的联合密度函数为

无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知

由此得知.

9． 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？

【答案】这个概率可用几何方法确定，记x 和y 分别为甲乙两艘轮船到达码头的时间，则（x ，

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8． 若随机变量

【答案】方程

. ，而方程无实根等价于