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一、证明题

1． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令

证明:【答案】

服从大数定律.

为同分布随机变量序列，其共同分布为

表

且

从而

又当

时,

与独立，所以

又因为

于是有

即马尔可夫条件成立，故

服从大数定律.

存在，证明:对任意的

，

2． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.

3． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，

证明：其分布函数F （X ）

有

【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知

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由

对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.

对称分布函数的这个性质可用图1表示:

，则

，则

图1

4． 若

【答案】因为

，证明:

.

•，所以得

由此得

结论得证.

5． 若因为

所以有

，即得

.

，证明:对任一事件B , 有

，所以由单调性知

.

，从而得

，又

【答案】因为

二、计算题

6． 向

中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图1）.

【答案】先求X 的分布函数，作

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图1

设X 的分布函数为F （X ），则当当作

时，有

而当

时，有时，为了求概率

；

，

，使EF 与AB 间的距离为X. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

7． 设分布函数列敛于分布函数

有再令则有

（1）

这时存在N ，使得当对任意的当

时，有

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弱收敛于连续的分布函数

取M 充分大，使有当

在闭区间

试证:时，有

在

当

上一致收时，

【答案】对任意的故可取它的k 个分点:

对上述取定的M , 因为

上一致连续， 使有

时，有

（2）

必存在某个i ，使得

由（2）式知，