2018年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 同时掷5枚骰子，试证:
（1）P （每枚都不一样）=0.0926; （2）P （—对）=0.4630; （3）P （两对）=0.2315; （4）P （三枚一样）=0.1543; （5）P （四枚一样）=0.0193; （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
取2枚组成“一对”，共有所以
（3）先将5枚殷子分成三组，其中二组各有2枚骰子，另外一组只有一枚骰子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有6x5x4=120种可能，所以所求概率为
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得
（6）五枚殷子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
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个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚殷子出现的点数都不一样，
种分法，
2． 设X , Y 均为
【答案】因为
上独立的均匀随机变量，试证:
的联合密度函数为
所以
3． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？
【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率
其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为
考察相连两项比值
当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，
；当且仅当N>15000时，
，
达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估
计.
4． 有两个班级同时上一门课，甲班有25人，乙班有64人. 该门课程期末考试平均成绩为78分，标准差为14分. 试问:甲班的平均成绩超过80分的概率大、还是乙班的平均成绩超过80分的概率大？
【答案】
记
因为
甲班平均成绩超过80分的概率为
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为甲班第i 个学生的成绩
，
为乙班第个学生的成绩
，
所以由林德伯格-莱维中心极限定理，
同理可计算乙班平均成绩超过80分的概率为
所以甲班的平均成绩超过80分的概率大.
5． 设随机变量X 的密度函数为
如果【答案】由
，求a 和b.
得
又由
得
联立（1）（2），解得a=l/3，b=2. 6． 设一个人一年内患感冒的次数服从参数效（能将泊松分布的参数减少为
的泊松分布. 现有某种预防感冒的药对
的人有
），对另外的的人不起作用. 如果某人服用了此药，一年
内患了两次感冒，那么该药对他（她）有效的可能性是多少？
【答案】记事件A 为“服用此药后，一年感冒两次”，事件B 为“服用此药后有效因为
因此所求概率为
7． 某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为
【答案】记为第i 天出售的汽车辆数，则由
知
利用林德伯格-莱维中心极限定理，可得
这表明:该销售点一年售出700辆以上汽车的概率近似为
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的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售，
为一年的总销量.
且每天出售的汽车数是相互独立的，求一年中售出700辆以上汽车的概率.