2018年北京理工大学数学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为
. 如今餐厅有50个座位，但预定给了52
. 因为“顾客来到
2． 为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出1000条，标上记号后放回湖中，然后再捞出150条鱼发现其中有10条鱼有记号. 问湖中有多少条鱼，才能使150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率最大？
【答案】设第二次捞出的标有记号的鱼的数目为X ，则X 服从超几何分布，150条鱼中出现10条带记号的鱼的概率
其中，N 表示湖中的鱼的条数，是未知参数. 似然函数为
考察相连两项比值
当且仅当N ＜15000时，因此，只有在N=15000时，计.
3． 设
；当且仅当N>15000时，
，
达到最大. 这里的N=15000即为湖中鱼数的最大似然估
位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？
【答案】记X 为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则
餐厅没有座位”相当于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求概率为
是来自.
若检验由拒绝域为
的样本，考虑如下假设检验问题
确定.
，n 最小应取多少？
（1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明:当
时，
.
【答案】 （1）由定义知，犯第一类错误的概率为
这是因为在
成立下，
，而犯第二类错误的概率为
这是因为在
成立下.
（2）若使犯第二类错误的概率满足
即查表得:
，或，由此给出
， ，
.
因而凡最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率（3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为
当
，时.
，即
检验犯第二类错误的概率为
当
时，
，即
才可实现，这一结论在一般场
注:从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须合仍成立，即要使得
与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可
行的，
故一般情况下人们不应要求与同时很小.
4． 测得一组弹簧形变x （单位:cm ）和相应的外力y （单位:N ）数据如下:
表
由胡克定律知
试估计k , 并在x=2.6cm处给出相应的外力y 的0.95预测区间.
【答案】k 的最小二乘估计为
的均值和方差分别为k 和从而
，所以，其中
，
，
又，且两者独立，从而有
因此的预测区间为，其中
此处，由样本数据可计算得到
从而
而x=2.6cm相应的外力的预测值为
当
时，查表知
，故
因而得到的预测区间为
.
5． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率 （即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使知道
结果又是如何？
是来自二点分布
的一个样本，就是样本中购买
是的置信水平
为0.95的置信区间？其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事先
【答案】对第一个问题，设
此种商品的顾客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在未知时，有
，从而
即
这说明
要求该置信区间的长度不超过2d ， 即得
若
对第二个问题，当已知
当
时可分别算得
（或己知
是的置信水平的置信区间.
.
，处理方法完全一样）时，
样本量随d 的增加（精度减少）迅速降低.