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一、证明题

1． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记

, 推出级数, 则

丨.

2． 设f 在[a, b]上连续

,

【答案】因为

所以

从而

. 证明

收敛, 也就是

存在, c 称为欧拉常数,

二、解答题

3． 计算下列第二型曲面积分

（1）

方体表面并取外侧为正向;

（2）取外侧正向;

（3）侧为正向;

（4）

其中S 是球面

的上半部分并取外侧为正向;

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, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立

其中S 是以原点为中心, 边长为2的立方体表面并

其中S 是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外

（5

）

【答案】

（1

）因

, 其中S 是球面并取外侧为正向

.

所以原积分由于

因此原积分=3× 8=24. （

3）由对称性知

,

（4）作球坐标变换, 令

►则

（5

）由轮换对称知只计算

, 由

, 利用极坐标变换可得

因此原式=

4． 设S 是椭圆面面,

的上半部分, 点

. ,

为S 在点P 的切平

, 故

.

（2）由对称性知只需计算其中之一即可

.

为点0 （0, 0, 0）到平面的距离, 求

【答案】设（X , Y , Z ）为上任意一点, 则的方程为

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页

由此易知

由

S 的方程

有,

于是

其中

:

是S 在xOy 平面上的投影.

作极坐标变换容易求出:

5． 求下列不定积分:

（1）由于

在

（2）

时

,

上连续,

故其原函数必在

, 当

即

, 因此

, 所以

（

2

）当当. 由于

在

时

, 时

,

上连续,

故其原函数必在

上连续可微. 因此,

即

, 因此

. 所以

6． 计算下列积分:

【答案】（1）令x=1—t , 则dx=—dt , 代入原积分, 有

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【答案】（

1

）当时,

连续可微. 因此