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一、证明题

1． 证明下列函数在x=0处不可导:

（1）（2）

【答案】（1）因为（2）先求

, 当

时,

. 于是

再求

, 当

时,

, 于是

因为

, 所以

在

处不可导.

2． 证明:定义在对称区间（-1, 1）内的任何函数f （x ）, 必可以表示成偶函数H （x ）与奇函数G （x ）之和的形式, 且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

若还存在偶函数

用-X 代入①式有

由①+②可得

再代入①式可得

②

且容易证明和奇函数

是偶函数,

, 满足

是奇函数. 下证唯一性.

则有

①

' ；

, 所以

在x=0处不可导.

二、解答题

3． 设

【答案】二元函数

与

求F （x ）.

存在k>0, 使在矩形区域

在[﹣k , k]上可微, 且

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上连续, x 与x 均为可微函数. 则函数

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4． 讨论广义重积分

的敛散性, 其中

【答案】因为被积函数恒正, 故可取时, D r 趋于D. 记

作变换:

, 则

显然当p>1时, 积分收敛, 且积分值为

5．

计算第二型曲线积分的上半圆周

与上半圆周

形成一闭路, 记所围区域为D

, 则

所以

6． 试求三角多项式

的傅里叶级数展开式. 【答案】因

是以

为周期的光滑函数, 所以可在

上展开为傅里叶级数,

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. 当积分收敛时, 求积分的值.

. 显然当

.

其中

为自

A （

a , 0）至O （0,

0）

【答案】用位于x 轴上的线段

所以在

上有

的傅里叶展开为

即其傅里叶级展开是其自身. 7． 设

级数

收敛

，

是

f （x ）在区间

而

上的正弦级数，求

【答案】对任意的

m 、

n>0, 由于法知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别

一致收敛，

所以由一致收敛函数列的性质知

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． 求不定积分

【答案】注意到

设

, 由（1）式, 则有

由此解得

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