2018年安徽农业大学植物保护学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2． 证明n
阶矩阵
与相似.
【答案】
设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
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故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1
重特征值
对于n-1重特征值
由于矩阵（
0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步
矩阵B 存在n
个线性无关的特征向量，即矩阵
B 一定可以对角化，且从而可
知n
阶矩阵与相似
.
3． 设二次型
（Ⅰ）用正交变换化二次型
（Ⅱ）求【答案】（Ⅰ）由
矩阵
A 满足
AB=0, 其中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重），
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知，是矩阵A 的特征
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根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
有
的特征向量为
解出
正交化，
令
则
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
再对
，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先