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一、解答题

1． 已知实二次

型

的矩阵A ，满

足

且

其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ

）求出二次型【答案】（Ⅰ）

由由

知，B

的每一列

满足

的具体表达式.

知矩阵A

有特征值即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j 正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然B 的第1, 2列线性无关

，量，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

则由正交变换

化二次型为标准形

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（Ⅱ

）由于故

故二次型

2． 求个齐次线件JTP

技使它的场础解系由下列向量成.

【答案】

由题意，

设所求的方程组为

构

将

代入得，

由这两个方程组知，所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为

3

．

已知A 是3阶矩阵，

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

故所求的方程组可取为

是3维线性无关列向量，且

解得此方程组

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令

记

因

则有

线性无关，故P 可逆.

即A 与B 相似.

（Ⅱ

）由

A 的特征值为-1, -1，-1.

对于矩阵B ，

由

得

所以

可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵

得特征向量

那么由：

即

是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1

的所有特征向量是

全为0.

（Ⅲ

）由

4．

设

为三维单位列向量，并且

记

证明：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A

相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ）由（Ⅰ

）知向量.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值

，为4的2重特征值

，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

知

故

芄中

不

【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且

为两个正交的非零向量，从而线性无关.

故

线性无关的特征向量，