2018年安徽农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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一、解答题
1． 已知实二次
型
的矩阵A ，满
足
且
其
中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A
有特征值即
是属于A 的特征值
.
则
与—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B 的第1, 2列线性无关
，量，从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
则由正交变换
化二次型为标准形
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（Ⅱ
）由于
故
故二次型
2
．
已知A 是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
又知齐
次方程组
Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵
A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（
1）记
A 的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，
也可
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为
其中t 为任意常数.
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3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
4．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
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