2018年安徽农业大学园艺学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
设矩阵
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令 3．
设
为三维单位列向量，并且
记证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
4． 已知A
是
则
即A
相似于矩阵
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】
由特征值性质得A 的特征值时
，阶方阵，
故
6．
设
【答案】
是一组n 维向量，已知n
维单位坐标向量
可由
线性无关
7． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1
）
线性表示
能由它们线性表示，
证明
是B 的特征值.
分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
线性无关.
（2
）
（3
）
【答案】⑴
故它的秩为2, 并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式. （2）