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一、证明题

1． 给定曲面

（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:

（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因

及

与

不能同时为零, 得出

化简得

把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得

化简得

当

由函连续可微性, 知 2． 设

b]上绝对且一致收敛.

【答案】因为

是[a, b]上的单调函数, 故对任意

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.

时, 即可看出成立.

对x=a或y=b时也成立.

与

都绝对收敛, 则

在[a,

是[a, b]上的单调函数, 证明:若

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又由与均绝对收敛, 得收敛,

从而在[a,

b]上一致

收敛,

即在[a, b]上绝对且一致收敛.

3． 证明:

闭区间的全体聚点的集合是

【答案】设:

设

, 不妨设

的全体聚点的集合是M.

则

本身.

由实数集的稠密性知, 集合的一个聚点. 设

,

不妨设

中有无穷多个实数, 故a

是

则

中的无穷多个点, 故为

, 则

的一个聚点

. 同理,

b 也是

故的任意邻域内都含有设. 故综上所述,

4．

证明:

若级数

与,

令

, 即闭区间

的一个聚点. 总之

.

即不是本身.

的聚点,

即

的全体聚点的集合是

和

收敛, 则级数也收敛, 且

【答案】因为

又所以

及

均收敛, 所以

收敛, 故

收敛. 又因为

收敛, 故由柯西﹣施瓦兹不等式

及闵可夫斯基不等式

对

取极限, 进而可得所证明的不等式.

二、解答题

5． 设f （x ）在R 上二次可微, 且

（1）写出（2）求证:对（3）求证:【答案】（1）

, 有

.

有

关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式;

;

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（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减, 得

由此, 利用条件

, 即得

（3）设

, 则有

其中等号当

时, 即当

时成立. 将此h 值代入（1）式, 即得

6． 若对任何充分小的

令

, f 在, 则

, 且

上连续. 能否由此推出f 在（a , b）内连续.

是f 的间断点,

于是, x 0是f 在区间

【答案】能. 用反证法. 假如f 在（a , b）内不连续, 则必有某一点上的一个间断点. 这与题设矛盾, 故f 在（a , b ）内连续.

7． 求下列极限:

（1）（4）（7）（10）【答案】 （1）（2） （3）（4）（5）

（2）（5）（8）

（3）（6

）（9）

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