当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明定理:.

【答案】定理:

若

）时.

则对任给的

于是当

存在

.

使得当

时, 也有

则对任给的（即

取

2． 设f 为[a, b]上二阶可导函数, 点

由同理, 存在又因为存在

3． 设A 、B 皆为非空有界数集, 定义数集

【答案】对任意的于是

对于任意正数, 存在于是, 即

并且

存在. 因此

使得

故

使得

是A+B的一个上界.

则设

证明:

在

使, 使得

使得

使

得

.

. 于是有

存在）时有

, 则当

. 使得

. 而当

, 并存在一点

使得

证明至少存在一

（即时, 总有

故

）时有

’

&

即

同理可得

并且

【答案】因f （x ）在[a, c]上满足拉格朗日中值定理, 故存在

上可导, 由拉格朗日中值定理知,

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

4． 设

D （x ）为狄利克雷函数,

【答案】令和无理数在.

使得

对任意的

证明:不存在.

中存在有理数

不存

. 由有理数和无理数的稠密性可知, 在, 于是

. 根据柯西准则,

二、解答题

5． 设

其中

f （x ）为可微函数, 求

.

在定义区域内连续, 所以

同理

6．

试作一函数

使当

时

,

【答案】

由于函数（x —yz ） f （z ）与

（

1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在,

另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数

满足当

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在.

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

因为在（4）函数

7． 求

时，sinx 的值在﹣1与1之间振荡，同理，siny 也是一样的.

满足

不存在但是

在点 O （0, 0, 0）, A （1, 1, 1）, B （-1, -1, -1）处的

所以:

梯度, 并求梯度为零之点.

【答案】因为

在点B （-1, -1, -1）: gradu= （-8, -4, -10）; 因

令

解之得x=5, y=3, 8． 设

（1）若在某（2）证明:若例如, 取

内有则在某

内有

保不等式性只能从则在0的任一空心邻域

内

（2）令使得当

因为

时, 有

所以

由于

即

同时, 由于

所以存在

使得当

时, 有

取

.

9． 试讨论方程组

在点（1, ﹣1, 2）的附近能否确定形如x=f（x ）, y=g（z ）的隐函数组？ 【答案】令

在点O （0, 0, 0）: gradu= （-4, 2, -4）; 在点A （1, 1, 1）: gradu= （0, 8, 2）;

. 因此使梯度为零之点为

问是否必有

? 为什么?

推出

但

.

【答案】（1）不一定有

所以存在.

即

则

当时

, 即在空心邻

域内

有

则