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一、证明题

1． 证明定理:.

【答案】定理:

若

）时.

则对任给的

于是当

存在

.

使得当

时, 也有

则对任给的（即

取

2． 求证:

（1）若（2）若

,,

则,

则

, 所以对任给定

, 存在m , 当n>m时, 便有

于是,

对

;

存在）时有

, 则当

. 使得

. 而当

（即时, 总有

故

）时有

’

&

即

同理可得

并且

【答案】（1

）因为有

注意到, 当m 取定时

,

便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有

这样, 当n>N时, 有

从而（2）因为

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对

应用第（1）小题结论, 即得

上可导, 且

, 则. 则

3． 证明:（1）若函数f 在

（3）对任意实数

在一点,

使得

, 又因为

于是

, 因此

（2）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b

）内至少存在一点 使得（3）当

,

又因为

时, 结论成立. 当

时, 设

, 于是

令

由（2）的结论知,

. 则

. 因此

都有

（2）若函数f （x ）在[a, b]上可导, 且

【答案】（1）因为f （x ）在[a, b]上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以在（a , b ）内至少存

二、解答题

4． 根据定义叙述在某个

内有定义, A 为定数. 若存

的x , 使

得

, 总存在满足不等式

不以益为极限,

记为

【答案】这个命题的叙述为

:设函数f 在点

的某个空心邻域

便得对任意的正数则称当

5． 计算近似值

:

（1）（2）

【答案】（1）设

根据

则

因而

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时

,

（2）设

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6． 已知平面上n 个点的坐标分别是

试求一点, 使它与这n 个点距离的平方和最小.

【答案】设所求的点为（x , y ）, 它与各点距离平方和为

由

得

因为

所以,

为S 的最小值点. 因此,

为所求的点.

7． 按函数作图步骤, 作下列函数图像:

【答案】（1）函数轴交于以下几点:

由

得稳定点

,

,

, 由

表

1 的定义域为

, 得x=-2.

.

, 容易求得曲线与坐标

,

函数如图1所示

图1

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