2018年曲阜师范大学管理学院864数学分析B考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 证明曲线积分的估计式:
其中L 为AB 弧长,
利用上述不等式估计积分
并证明
.
【答案】（1）因
且
从而
（2）因
由（1）知
由于
故
2． 设二元函数
证明:对任意
【答案】应用微分中值定理, 有
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在区域
成立
.
上可微, 且对
, 有
其中介于x 1与x 2之间, 介于
3． 设
当当即
. 求证
:
时,
时, 结果显然成立.
时, 利用一个显然成立的不等式
:
可导出:
有
因此, 取因此,
. 于是当
在
设时, 有
上一致连续.
, 令
, 则
。
在区间
与
之间.
上一致连续. 上显然一致连续.
【答案】当
二、解答题
4． 验证下列积分与路线无关, 并求它们的值:
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）
所以积分与路径无关, 取路径y=x, 得
（2）由关, 取路径
如图, 则
’,
, 则
, 沿在右半平面的路线; , 沿不通过原点的路线;
, 其中, 少为连续函数.
其中P=x=y
, Q=y—x
,
.
. 所以积分与路径无
,
图
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（3）因
,
,
•故积分与路径无关
, 且
（4）当（5）因
,
时
,
为连续函数, 则
分别是和的原函数, 于是无关, 从而
5． 试确定曲线
（1
）（2）【答案】曲线（1）直线. （2
）直线故曲线 6． 设
【答案】因为
所以函数是连续的. 因为
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是全微分,
故积分与路径无关, 且
可见积分与路径
上哪些点的切线平行于下列直线: ； .
在x 处的切线斜率为的斜率为1. 由的斜率为
2.
由上点
得x=1, 故曲线得
,
.
上点（1, 0
）的切线平行于直线
的切线平行于直线y=2x—3.
，讨论函数的连续性和可微性.