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一、计算题

1． 在某保险种类中，一次关于2008年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升序排列）：

己知2007年的索赔数额的中位数为5063元. 是否2008年索赔的中位数比前一年有所变化？请用双边符号检验方法检验，求检验的p 值，并写出结论.

【答案】

原假设

检验的P 值为

p 值小于0.05，所以拒绝原假设. 从而认为2008年的索赔中位数与前一年相比有变化.

2． 设随机变量X 服从伽玛分布Ga （2，0.5），试求

【答案】伽玛分布

的密度函数为

由于

因此所求概率为

3． 设二维随机变量（X , Y ）的联合分布列为

表

1

试求

与

的协方差.

表

2

所以得

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备择假设

作差

得到检验统计量值为

【答案】因为

由此得

4． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计. 【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

5． 设

，对k=l，2，3，4，求

与

进一步求此分布的变异

系数、偏度系数和峰度系数.

【答案】因为

所以

此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数分别为

由此可见：指数分布的变异系数、偏度系数与峰度系数均与参数

6． 设随机变量X 的密度函数为

试求以下Y 的密度函数：

【答案】（1）因为Y=2X+1的可能取值范围是数，其反函数为

及

. 且

所以Y 的密度函数为

是严格单调增函

无关. 它永远是正偏尖峰.

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（2

）因为

及

的可能取值范围是

.

且

是严格单调增函数，

其反函数为

所以Y 的密度函数为

（3）因为

其反函数为

的可能取值范围是

及

且在上是严格单调増函数，

所以Y 的密度函数为

这是韦布尔（Weibull ）分布的特例. 一般韦布尔分布（记为

本题结论就是

7． 若随机变量

【答案】方程由此得知

时的韦布尔分布形（1/2，1）. 而方程

）的密度函数为

无实根的概率为0.5，试求

无实根等价于16-4K<0，所以由题意知

8．

设总体为均匀分布

拒绝域取为

0.05, n 至少应取多大？

【答案】均匀分布

是样本，考虑检验问题

求检验犯第一类错误的最大值

若要使得该最大值不超过的最大次序统计量

的密度函数为

因而检验犯第一类错误的概率为

它是的严格单调递减函数，故其最大值在若要使得

则要求

处达到，即

这给出

即n 至少为17.

二、证明题

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