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一、证明题

1． 设

【答案】

作分割

理,

, 使得

其中介于f （x' ）与f （x" ）之间. 因为可积函数一定有界, 所以可设式得

设与

分别表示f （x ）与

在

上的振幅, 在公式（2）中, 让x' , x" 在

由此推出

令限得

因此

2． 利用级数收敛性, 证明序列

当

时极限存在.

则级数

的部分和为x n , 所以证

存在归结

, 因为

, 所以

. 由此, 令

对（3）式取极

上

. 于是由（1）

, 求证:

设

, 则根据微分中值定

变化, 两边取上确界得到

【答案】令为证级数收敛. 因

由于若记

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, 推出级数, 则

收敛, 也就是存在, c 称为欧拉常数,

丨.

3． 设数列

证明:（1）若（2）若

满足:

有界, 则

也有界;

有界知, 存在M0, 使得

, 由递推关系式可知,

收敛, 则

也收敛.

【答案】（1）由己知条件

由此可知, （2）设

有界. ,

则

当nN 1时, 有

即

对上

述

故

, 证明:存在

中最小者为

, 使得

【答案】设

, 最大者为

, 则有

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. 于是有

. 当nN 时, 可

使, 从而, 当nN 时,

有

4． 设f 在[a, b]上连续,

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若若

理, 可以得知存在

或

, 则取

对f （x ）在区间（或

）使得

或, 就能满足题中要求. （或

）上应用连续函数的介值性定

二、解答题

5． 已知函数f 和g 的图像, 试作下列函数的图像;

（1）【答案】

（1）中,

取二者较高者. （2）中,

取二者较低者. 如图1和图2所示.

将

与

作在同一坐标系

, 将

与

作在同一坐标系

图1 图 2

6． 设

试证:若

在

则

上连续, 对任意

:收敛.

所以

有

另外

,

【答案】用比较判别法. 因为当即

时有

从而当

时有

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