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一、证明题

1． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知,

在

上也连续. 由连续函数的最大、

, 存在

. 使得

【答案】由f （x ）在

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在, 使得

2． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设

证明

.

【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,

即

.

|时,

有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知

为此, 将积分分为三段进行估计:

>

而

综上可知, 原结论成立.

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, 因此, 欲证结论成立, 只需证

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3．

证明:

函数

【答案】

因为又由

在

及故

上连续, 且有连续的导函数. 在

上一致收敛.

在

上连续.

上连续（n=1, 2, …）, 故

在

上连续可知, 则由定理可知

一致收敛且和函数连续. 设

即f （x ）连续且具有连续的导函数.

4

． 确定常数a , b , 使当

证明:

时,

为x 的3阶无穷小.

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

解之得

5． 设

点

到集合E 的距离定义为

, 则

;

.

因而或

, 若

若

, 但

. 即X 为E 的聚, 故

, 使则由于

为开集,

由

.

由于

, 使若, 使这表明

.

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.

证明:

（1

）若E

是闭集

（2）若是E 连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）.

则【答案】

（1）因为E

为闭集,

所以E

的余集

, 现

（2）一方面,

, 存在点列另一方面, 点, 因而

即

这说明X 为E

的聚点, 所以不论

则

又 , 即

.

有

即

, 即表示或. 故

都有

即

, 因而

综合两方面, 有

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二、解答题

6． 求下列极限:

（1）（2）（3）

【答案】（1）因为

所以

故

（2）因为

所以

（3）

7． 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性:

（1）（3）（5）

【答案】（1）任意在

上一致收敛.

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（2） （4）

（6）因为

而级数

收敛, 所以