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一、计算题

1． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列:

（1）X 表示两次中所得的最小点数； （2）Y 表示两次所得点数之差的绝对值.

【答案】（1）一颗骰子抛两次，共有36种等可能的结果.X 表示两次中所得的最小点数，则X 的可能取值为1，2, 3, 4, 5，6。由确定概率的古典方法得

将以上计算结果列表为

表

1

（2）因为Y 表示两次所得点数之差的绝对值，所以1，的可能取值为0, 1，2，3，4，5. 而

将以上计算结果列表为

表

2

2． 设随机变量X 与Y 相互独立，其联合分布列为

表

1

试求联合分布列中的a ，b ，c.

【答案】先对联合分布列按行、按列求和，求出边际分布列如下:

表2

由X 与Y 的独立性，从上表的第2行、第2列知从上表的第2行、第1列知性知:由此得c=l/6.

3． 设总体密度函数为位数的分布.

【答案】总体分布函数为

, 从中解得b=2/9, 再

，从中解得a=1/18, 最后由联合分布列的正则

是来自该总体的样本，试求样本中

故样本中位数

的精确分布密度函数为

这个精确密度函数是26次多项式，使用是不方便的，譬如以求的，可就是不方便，寻求近似计算就十分必要.

下面来寻求故在

时

的渐近分布，由于总体中位数是的渐近分布为

利用此渐近分布容易算出概率

4． 设随机向量

满足条件

其中

【答案】对等式由此解得

同理，对等式

的两边求方差可得

用上述密度函数是可

，且

均为常数，求相关系数

的两边求方差得

同理，对等式进一步

当

时，对等

式

的两边求方差可得

的两边求期望

得

将上面三个式子分别代入

5． 设曲线函数形式为

【答案】令

的表达式中，可得

所以

有

由此可得

试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式. ，则原曲线函数化为

，即为一元线性回归的形式.

，如果定义随机变量Z

如下

6． 设X 和Y 是相互独立的随机变量，且

求Z 的分布列.

【答案】因为X ，Y 相互独立，所以其联合密度函数为

由此得

7． 设随机变量

相互独立，且

试证:

【答案】而事件

从而该事件的概率为

8． 设

【答案】

的联合密度函数为:

的联合密度为

，求a 和的UMVUE.