2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用定积分定义计算由抛物线积。
【答案】由于函数等份,
则分点为的右端点
, 则
当
时, 上式极限为
即为所求图形的面积。
2． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
在区间[a, b]上连续, 因此可积, 为计算方便, 不妨把[a, b]分成n
,
每个小区间长度为
,
取
为小区间
, 两直线x=a, x=b（b>a）及x 轴所围成的图形的面
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
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，故压力为
3． 求下列幂级数的和函数：
【答案】（1）
则
当
时，原级数收敛，当
即
即
时，因级数的一般项
从0到x 积分并逐项积分
上式两端对x 求导，得
（2）
则
当时，级数，则
数为s （x ）
在（-1, 1）内，上式两端对x 求导，得
于是
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故级数发散。
因此原级数的收敛域为
设和函数为
时，级数收敛；当
与
时，因级数一般项故级数发散；当
设和函
：是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为
又由于幂级数在（3）令
处收敛，且
幂级数
的收敛域为
于是原级数的和函数
（4）径为R=1，当
时，级数
与
由
得幂级数的收敛半
均收敛，故幂级数的收敛域为[-1, 1]. 记其和函数为
即有
在
处连续，故
设和函数为s （x ）, 即当x=0时，s （0）=0； 当
时，有
上式两端对x 求导，得
注意到
上式两端从0到x 积分，得
再积分，得
于是
由于幂级数在
处收敛，故和函数分别在
处左连续与右连续，于是
因此
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