2017年郑州大学联合培养单位周口师范学院915高等代数考研导师圈点必考题汇编
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一、分析计算题
1．
方幂. 例如
的根称为它的本原根（或称n 次本原单位根，如果这方程的任何一个根都是
就是一个本原根. 证明:
由此可知
的本原根的数目
（1）设是本原根，则
是本原根当且仅当
n 中与n 互素的数的数目. 记为称为欧拉函数. （
2
）
设
的
全
部
它被称为分圆多项式，则【答案】（1）先证因方
幂. 又反之
设
故
于是
只能
故有
是整系数. 结论成立. 设
为整系数多项式.
就是
的全部n 个根.
由
的任一根是的方幂，当然是是本原根，于
是
的方幂，即
是本原根.
这
里
否
则
作带余除法，
设
k 使有整数1，
是整系数多项式.
是本原根.
于是
故是
的的
本原根记
为
（2）对n 作归纳法. 当现
来证明n=k时设于是
是
令是
的本原根. 故
则
是整系数的. 是k 的全部因子，且
令是的一个本原根. 由
的全部k 个不同的根.
=1是不同的元，又是
的全部个根.
故
其中又
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是中与互素的全部的数. 由由归纳假设是整系数的.
及皆小于k.
故
在的因式中出现. 当
个不同的方幂，
后者有中的因式与
中互不相同的因式.
因此
时
之中，
即
的每个因式都在与次本
原单位根是互不相等的（
前者有中的因式是数域中整除
中.
若
次本
原根，
而
与
（x ）. 由归纳假设
的乘积也是整系数多项式. 由带余除法知道
的任一根
次本原单位根
，因
此
个不同的方幂）
在复
这因子在
于是
是n
必为某
若（1, n ） =1，则它是n 次本原根. 则
次本原根，即因
子
在中. 于
是
含有同样多的因子.
即
皆为整系数多项式，它们
定理11的推论
是有理系数多项式. 再由第一章
知也是整系数多项式. 这就完成了归纳法.
2． 设T 是n 维线性空间V 的一个线性变换
，
令
（T ）表示T 的核空间
【答案】而
为T （V ）的基，
所以
线性无关，
且
所以有
，则有
证明：
是T （V ）的一个基，且其中T （V ）表示T 的值域，N
即
因此有
所以
故线
W+N（T ）是直和.
又因为性无关，故有dimW=r.
又从而 3． 设
（1）证:
（2）求N 的维数及一组基. 【答案】（1）显然零变换属于N , 即
所以
即N 是M 的子空间.
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是V 的线性变换组成的线性空间，
构成M 的子空间，
则
（2）取V 的一组基，设
其中
则
使
M
同构于矩阵空
间
因
为
设令
则有
记则DT=TD.
因此，
即
由M 与Pran 同构知
所以
又易知E ,
4． 设
证明：
【答案】若约因式相乘：
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线性无关，故
且无有理根.
为N 的基，且
使
即f （x ）在Q 上可约.
反之，设f （x ）在Q 上可约，因f （x ）无有理根，则f （x ）必可分解为Q 上两个二次不可
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