2017年郑州大学联合培养单位周口师范学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设V 是有限维欧氏空间，内积记为
显然
和
设T 是. 的一个正交变换，记
都是V 的子空间，试证明：
则
因此设
其中I 为V 的恒等变换
.
因为
由①，③，④即证
2． 设
又
为任一非零多项式. 问：
即证
于是
【答案】先证
所得的商及佘式分别为
所得的商及余式为何？
所得的商及余式为何？
所得的商为
的充要条件为何？ 或且
次.
【答案】①设则
这表明，fh 除以gh 所得的商不变，而余式为rh. ②由（6）得仍为
③其充要条件为：
次. 因为由（6）得
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故可知：除以所得的商为而余式
所得的商为
则余式必为
反之若上式成立. 则结论显然.
3． 设
是三维欧氏空间中一组标准正交基，证明
：
也是一组标准正交基.
【答案】由
到
的过渡矩阵是
因为
所以A 是正交矩阵，又题设
4． 计算行列式
是标准正交基，所以
也是标准正交基.
故必
【答案】将第一行的1改写成按第一行拆分得
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5． 证明:一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根，
要且只要存在一个有理系数多项式
使【答案】
显然，a 是
的根，因而也是
的根，令
则
若由
则
可知
如此继续，总有一个时刻，使
因而我们不妨在等式
中设从而有
其中，显然有
令
为有理系数多项式，且
6． 设四元线性方程组（I ）为
又某线性方程组（II ）的通解为求（1）方程组（I ）的基础解系；
（2）方程组（I ）与（II ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解. 【答案】（1）对方程组（I ）的系数矩阵作初等行变换，有
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的根
.
设为非零有理系数多项式
则有