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一、计算题

1． 设

是来自如下总体的一个样本

（1）若的先验分布为均匀分布U （0, 1）, 求的后验分布； （2）若的先验分布为【答案】

的联合密度函数为

时，后验分布为

（2）对该先验分布，当

时，后验分布为

2． 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？

【答案】记T 为此种动物的寿命，

由题意知

所以

3． 设随机变量X 的密度函数为

如果E （X ）=2/3，求a 和b. 【答案】由

得

又由

得

，解得a=l/3，b=2. 联立（1）（2）

又因为

求的后验分布.

，当（1）对先验分布U （0，1）

4． 把一颗骰子独立地掷n 次, 求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数.

【答案】记

则1点出现的次数从而有

欲求

, 故先求

. 由于

且因为和

均为仅取0, 1值的随机变量, 所以

由此得综上可得

X 与Y 负相关是可以理解的, 因为在掷n 次骰子中, 1点出现次数多必使6点出现次数少.

5． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数如下, 试问X 与Y 是否相互独立？

（1）（2）（3）（4）（5）

【答案】（1）当时,

x>0

时

,

而当

y>0

而当

时, 由于

与相互独立, 所以

（第i 次投掷

时, 不可能既出现1点、同时又出现6点）, 因此当i=j时, 有

6点出现的次数

. 所以由

, 知X 与Y 相互独立.

（2）因为

所以由

（3）当0

（4）当而当所以由

（5）当0

时,

时,

, 知X 与Y 不相互独立.

而当0

所以由

（6）当一1

知X 与Y 不相互独立. 知X 与Y 相互独立.

知X 与Y 相互独立.

而当0

所以由

知X 与Y 不相互独立, 实际上, 由于P （X , y ）的非零区域不可分离,

6． 设随机变量Y 服从参数为λ=1的指数分布, 定义随机变量X 如下:

求

和

的联合分布列.

的联合分布列共有如下4种情况:

所以

的联合分布列为

表

【答案】