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一、选择题

1．

设（ ）。

A.3 B.5

C.3 或-5

D.5 或-3 【答案】C

【解析】因为齐次方程组解系只有一个向量.

因此

有非零解，

且芄任一解均可以由线性表出，说明

对矩阵A 作初等变换有

可见当 2．

已知

（ ）。

【答案】C 【解析】

因

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若齐次方程组的任一非零解均可以用线性表出，那么必有

的基础

时，

均有秩是线性非齐次方程组

三个解向量.

则下列向量中仍是

的解是

3． 下列矩阵中A 与B 合同的是（ ）。

A. B. C.

D. 【答案】C

【解析】由合同定义

：同号.

C 可逆. 知合同的必要条件是：且行列式

与

A 项，矩阵秩不相等；B 项中行列式正、负号不同，因此皆排除. C 项，矩阵A 的特征值为1, 2, 0, 而矩阵B 的特征值为1, 3, 0,

所以二次型

同的正、负惯性指数，所以A 和B 合同.

D 项，矩阵A

的特征值为

矩阵B 的特征值为-1, -2，-2，从而：

与

. 正、负

惯性指数不同而不合同.

4． 设A 是n 阶实对称矩阵，将A 的Ⅰ列和j 列对换得到B ，再将B 的Ⅰ行和j 行对换得到C ，则A 与C （ ）。

A. 等价但不相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D. 等价，合同且相似 【答案】D

【解析】将初等行、列变换，用左、右乘初等阵表出，由题

设

因

5． 已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于A ，则D=（ ）。

A.0

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】按这一列展开

，

列元素的代数余子式中有n 个为A ，n 个为一A ，从而行列式的值为零.

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与有相

故

且

故故

即

并注意到这一

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6．

已知方程组

A.-1

B.10 C.1 D.2

【答案】C

【解析

】线性

方程

组

因为

有两个不同的解，

则（

）。

有两个不同的解

有无穷多

解

令把

得

代入原方程组

，有

因为

故知

时方程组有无穷多解.

二、填空题

7． 若

【答案】

【解析】由于矩阵

则

_____. 为任意实数 不可逆，故可设

于是

得方程组

所以

是任意常数.

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