2018年中国海洋大学水产学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
.
求
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
2．
已知
且
【答案】
由题意知又
又
得
故
即
时
此时方程组无解.
故
知
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知
即
3． 已知
实二次
型
的矩阵
A ，满足
且
其中
（Ⅰ）用正交变换xzPy 化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ
）求出二次型【答案】（Ⅰ）
由由
知，
B
的每一列
满足
的具体表达式.
知矩阵A 有特征值
即
是属于
A 的特征值
.
则
与
—
j 正交，于是有
令
的线性无关特征向
显然B
的第1
, 2列线性无关
，量，
从而知A
有二重特征值
设
对应的特征向量为
解得
将
正交化得：
再将正交向量组
单位化得正交单位向量组：
令
（Ⅱ）由于
则由正交变换
故
化二次型为标准形
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故二次型 4．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使为
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：