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一、证明题

1． 设级数

【答案】设

收敛于A (有限数) . 证明

：

则有

故有

2． 证明：若

由致 密性定理，存在

不存在，这与

3． 设

的子列

从

的左方或右方收敛于

但

不收敛，即

与

在

上只有第一类间断点，则在

在

上有界.

使

所以

【答案】

假设

上无界，则对每一个自然数n ,

存在互异点列

只有第一类间断点矛盾. 证明函数

在D 上不可积.

【答案】对D 上任意分割

，若在每个取点

若在每个在(当

取点时) . 即

为非有理点，则在D 上不可积.

因此

的极限不存

使

皆为有理数，则

4． 设b]上逐点收敛且具有性质：

在[a，

在[a, b]上一致收敛.

且5时，有

上逐点收敛，即

.

在

上等度连续，

如果

对所

有

s

上连续； 使得

当

使得

当

时，

有

且

用有限覆盖定理证明由

定理，得

【答案】由题设条件，知(Osgood 定理)

设函数列

则(1)

答:(1) 由对

成立；令(2)

由

由

于

在x 处连续

及时，有

于是这些区间的并

在

当

取极限得，

上是等度一致连续的，又

上一致收敛. 在有限闭区间在

上连续

，

在

上连续；(2)

上一致收敛于

上等度连续，得

时，不等

式由此得

对于任意

的

上等度连续，必存

在

构成的一个开覆盖，即

令

当

于是，当n>N时，这就说明了

对任意时，有

必存在

使得

对一切

成立.

中的某个开区间

在上一致收敛.

二、解答题

5． 把函数

展开成傅里叶级数，并由它推出

【答案】函数f 及其周期延拓函数的图像如图所示

.

图

显见f (x ) 在

内按段光滑，由收敛定理，f (x ) 可展开为傅里叶级数，因为

所以

时

当x=0时，上式的右端收敛到0. (1) 当

时，由于

因此

(2) 因为. 所以

(3)

时，因

故

所以

6． 判断积分

【答案】对

有

再由

收敛，可得

收敛.

的敛散性.