2017年新疆师范大学数学科学学院717数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】令
求证：
显然有
于是
2． 证明：若函数
满足拉普拉斯方程：
则函数【答案】令
也满足此方程.
则有
同理由于
故有同理
将①和②两式相加，并把上述结果代入整理后得
3． 求证：序列
【答案】对
只要
发散.
及
便有
4． 设级数
【答案】设
收敛于A (有限数) . 证明
：
则有
所以
故有
二、解答题
5． 试求下列方程所确定的函数的偏导数
(1
)
【答案】(1) 把看成所以
同理两边对y 求偏导数得
(2) 两边对x 求偏导数有
所以
两边对y 求偏导数，得
故
6． 求极限
(2)
的函数，两边对x 求偏导数，得
【答案】由等价无穷小替换及洛必达法则得
原式
7． 讨论下列函数在给定点或区间上的连续性，并指出不连续点的类型
.
（2）黎曼函数
【答案】（1）当当当连续；
综上所述，当第二类间断点.
（2）由黎曼函数的极限结论：对时
.
1
从而
在点连续；
当
有为有理点时
，
知，当为0, 1或（0, 1）内无理点
从而
在点不连续，即
时，
在点
连续；当
时，
在点
不连续，此时
为
时，时，由于
时
不存在，
在点
在点不连续；
所以
不存在，
在点
不
连续；
在0, 1及（0，1）内无理点处都连续，在（0, 1）内有理点处都不连续，且易知（0，1）内
有理点都是可去间断点.
8． 证明施瓦茨不等式：若
和在上可积，则
【答案】因为所以
即
若
则即
故
等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，
于是有判别式
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