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一、证明题

1． 证明级数

【答案】因为所以

当

时，数

列收敛. 因为

而

发散，所以

发散. 故原级数为条件收敛. 条件收敛.

所以该级数为交错级数. 令

单调递减，

且

则

由莱布尼茨判别法知级

数

2． 设n 是平面区域D 的正向边界线C 的外法线，则

【答案】由

公式有

3． 证明：若函数f , g 在区间

【答案】令于是，F (x ) 在

4． 设

上严格递增，故当

上可导，且

则

则在

时

即

内有

为二阶可微函数，为可微函数，证明函数

满足弦振动方程

及初值条僻【答案】

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所以

二、解答题

5． 计算线积分

【答案】如图所示

所以

其中ABC 为三点

连成的折线.

图

6． 证明下列数列极限存在并求其值：

⑴设（2）设（3）时成立，则

再证设

递增

，在等式由保不等式性可知

故

有上界2. 当n=l时，

有上界2.

单调递增. 根据单调有界定理，

极限

即

存在.

解得a=0或a=2.

因为

.

因此

两边取极限得，

.

显然成立，假设n=k

由数学归纳法知

【答案】（1）先用数学归纳法证数列

（2）首先证明数列是单调的

.

所以数列

是递增的.

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再证明数列要满足两个条件

：

此，可猜想数列

是有上界的. 先猜想，再用数学归纳法来证明. 为此M （M 为某个正整数）即

由于

，当n=l时，显然

的根为

因

有上界

假设n=k时成立，则n=k+l时，

即得

，

有上界. 由单调有界定理知，数列

解得

（3）设M 是一个大于c 的正整数，即M>c，则当n>M时，

由

7． 计算第二型曲线积分

(1) (2) 所以

(2)

8． 导出曲边梯形

【答案】区间

绕y 轴旋转所得立体的体积公式为

所对应的柱壳体积

由微元法可知所求体积为

沿逆时针方向；

的边界，沿逆时针方向。

可知

.

因此

由迫敛性得

的极限存在. 设

对因

为

所以

两边取极限

因

此

其

中

【答案】(1) L的参数方程为

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