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一、分析计算题

1． 求三阶矩阵

的Jordan 标准型. 【答案】特征矩阵为

将其对角化可得

故A 的若当标准形为

2． 设V 为线性空间

,

问

【答案】设易知’于是

注意到若

, 则

因而

故

则结论不成立. 若结论成立, 由维数公式

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是V 的子空间, 且

, 则存在V 的子空间’

令

时, 上述结论是否成立？

是

的基

将其扩充成V 的基

设

这与 3． 设

是V 的子空间矛盾.

A 是n 阶矩阵，a 是一个n 维列向量. 证明:如果，

则有

【答案】由题设知

所以

从而

4． 设

除以

除以

所得的商及余式分别为

所得的商及余式为何？ 所得的商及余式为何？

听得的商为

且

或

欠.

除以

的充要条件为何？

. （6）

又为任一非

零多项式. 问：

②

除以

除以

【答案】①设则这表明，式仍为

.

其充要条件为：

则余式必为

反之若上式成立. 则结论显然.

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除以所得的商不变，而余式为

②由（6）得

或

，故可知：所得的商为，而余

次. 因为由（6）得

. 故若故必

或

欠. 除以

所得的商为

5． 讨论a , b满足什么条件时，数域K 上的下述线性方程组有惟

一解，无穷多解，无解? 当有解时，求出 该方程组的全部解

.

【答案】

（1）当

原方程有惟一解，其解为

（2）当

（3）当其全部解为

目时，原方程无解.

时，原方程组同解于方程组：

其中k 为任意常数.

6． 设

②若③若由【答案】①

到,

且

则

因此,

W 作成子空间

. 当且仅当

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与是数域K 上n 维空间V 的两个基, 证明:

则

的秩是,, 则W 的维数为

①在此两个基下坐标完全相同的全体向量之集W 是V 的子空间；

的过渡矩阵为C 且