2018年辽宁工业大学理学院901高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ,
则有（ ）.
A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A 的第1列与第2列得- B D. 交换A 的第1行与第2行得- B 【答案】C
【解析】解法1:题设又
所以有
即题设
因此
即
2． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
右乘初等阵
所以
得
解法2
所以有
*
*
*
*
*
*
*
*
与分别为A , B 的伴随矩阵，
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关.
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并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列
又由方法2:设考虑到
知
，由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
即
所以有
所以有
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
则为（ ）.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
5． 设次型.
A. B.
为任意实数
不等于0
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则（ ）.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
C. D. 【答案】D
为非正实数
不等于
则
【解析】方法1用排除法令这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
，
即
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
则当
二、分析计算题
6． 由行列式定义证明:
【答案】由定义，行列式中一般项为
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