2018年北京科技大学数理学院613数学分析之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
讨论黎曼函数型.
【答案】（1）先证
在
上无理点都连续. 设无理数
若x 为0, 1或无理数, 总有
若取
在则当
的,
记为
在区间[0, 1]上的不连续点的类
中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个,
选其中最接近于
时, 有
（2）再证取无理数列再取有理数列由
上的有理点均为使使
所以的右连续点.
则
的第二类间断点. 设有理数
为
不存在. 即证的第二类间断点.
（3）类似可证1不是（4）可证0是
2． 求
【答案】方法一令通过计算易知
, =-1.注意到
的左连续点.
在全平面上的最大最小值.
,
, 可得驻点（1, 0）.
, 所以（1, 0）为极小点, 极小值为f （1, 0）
于是有
由此可见, f （x , y）在全平面上无最大值. 而另一方面, :
第 2 页，共 39 页
, 当或时
即f （x , y）在有界闭域:方法二:先固定x , 求显然
上的最小值-1必是f （x , y ）在全平面上的最小值.
. 将f （x , y ）改写为:
于是
故
又由
方法三 用配方法
.
且f （1, 0） =-1即最小值为-1, 无最大值.
3． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）, 求球体的重心位置.
【答案】方法一 记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为
密度函数为
设重心坐标为
, 由对称性可知,
,
而
第 3 页，共 39 页
‘可知f （x , y ）在R 2上无最大值.
故
因此球体的重心位置为
.
方法二 选取P 0为坐标系的原点, 球心坐标为（0, 0, R ）, 则球面方程为
而此时密度函数为
. , 由对称性知,
设重心坐标为
而
故
因此球体的重心坐标为 4． 求
【答案】因为
所以
5． 计算第二类曲线积分
:
【答案】令
则所求的积分为
,
方向为逆时针。
.
第 4 页，共 39 页