2018年北京师范大学数学科学学院717数学教育综合之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明定理: 数列
收敛于a 的充要条件是:
的极限是1. 为无穷小数列, 则
按照数列收敛的定义, 数列
于是, 对任意收敛于a.
时
,
即
存在N , 使得
当
存在N , 使
即
于是, 数列（2）因为
2． 证明:
（1）（2）
【答案】（1）由
的递减性, 有
即
从而有
依次相加得
由左边不等式, 得
由右边不等式, 得
第 2 页，共 32 页
为无穷小数列.
并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当
时, 必要性, 设数
列
收敛于a , 那么, 对任
意
为无穷小数列.
收敛于0, 即
是无穷小数列, 所以
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综合两式有
（
2）由（
1）有
而
, 于是由迫敛性定理有
3． 证明:
【答案】令
, 其中
, 因为
所以函数f （x ）在所以
, 即
上是凸函数. 因此
.
, 而
,
4． 证明:若f （x
）在[a
, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a, b]上有界.
【答案】
假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n , 存在互异点列
. 由致密性定理, 存在但
不收敛, 即
的子列
从xQ 的左方或右方收敛于
与
,
不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾.
使
二、解答题
5． 求极限:
【答案】
又因为
所以
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6． 计算第二型曲线积分:
其中A （1, 1）, B （2
, 4）分为两种情况: （1）（2）
为连接A , B 的直线段; 为抛物线:y=x.
直线段的方程为y=3x-2, 所以
（2）
7． 计算下列定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11）【答案】（1）
（2）令
, 则
, 则
（3）令
则
, 则
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2
【答案】（1）
.
（2）
（4）
（6）
（8）
（10
）
t
（12
）
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